15粘彈性流體行為

在經典的彈性理論中，剪切體的應力與應變成正比。拉力適用胡克定律，比例係數為楊氏模量G:

式中，dx為距離dy的兩個單元的剪切位移。當一個完全固體發生彈性變形時，應力消除後，它恢複到原來的形態。然而，如果施加的應力超過材料的特征屈服應力，則不會發生完全恢複，而會發生“蠕變”——也就是說，“固體”會流動。

在另一個極端，在牛頓流體中，剪應力與剪切速率成正比，方程(1.1)。在適當的情況下，許多材料既表現出彈性效應，又表現出粘性效應。如果沒有前一節提到的與時間有關的特性，這種材料稱為粘彈性。完全彈性變形和完全粘滯流動實際上是粘彈性行為的極限情況。對於某些材料，隻有這些限製條件才能在實踐中被觀察到。水的彈性和冰的粘性通常會被忽視!材料的響應不僅取決於它的結構，還取決於它所受到的條件(運動學);因此，“固體”與“流體”、“彈性”與“粘性”之間的區別在某種程度上是武斷和主觀的。

許多實際興趣的材料（如聚合物熔體，聚合物和肥皂溶液，滑膜液）表現出粘彈性行為;它們有一些能力存儲和恢複剪切能量，如圖1.13所示。也許最容易觀察的實驗是“湯碗”的效果。如果使盤中的液體通過用勺子溫和攪拌旋轉，則在去除能量源（即勺子）上，慣性循環將由於粘性力的作用而消失。如果液體是粘彈性的（作為一些專有湯），液體將被視為慢慢停止然後稍微放鬆一下。這種類型的行為與凝膠結構在流體內形成的趨勢緊密相關;這種剛性的元素使得簡單的剪切不太可能發生 - 剪切力傾向於充當耦合以產生流體元件的旋轉以及純淨滑動。這種初始旋轉產生垂直於剪切方向的應力。許多其他不尋常的現象通常歸因於液體粘彈性包括模具膨脹，棒爬（Weissenberg效應），無管虹吸管和低雷諾數的二次流動的發展。最近的一本書[Boger和Walters，1992]，這些大部分都已拍照。 A detailed treatment of visco-elastic fluid behaviour is beyond the scope of this book and interested readers are referred to several excellent books available on this subject, e.g. see [Schowalter, 1978; Bird et al., 1987; Carreau etal., 1997; Tanner and Walters, 1998]. Here we shall describe the 'primary' and 'secondary' normal stress differences observed in steady shearing flows which are used both to classify a material as visco-elastic or viscoinelastic as well as to quantify the importance of visco-elastic effects in an envisaged application.

粘性液體能以熱量dx的形式耗散

粘性液體 - 液體散發為熱量

彈性solid-energy可采

彈性solid-energy可采

圖1.13粘性流體和彈性固體的定性區別

定常剪切流動中的正應力

讓我們考慮流體的一維剪切運動;由兩個平麵之間的無限小流體單元剪切產生的應力如圖1.14所示。由於穩態剪切流的性質，y和z方向上的速度分量為零，而x方向上的速度分量僅為y的函數。注意，在剪切流體中，除了剪應力ryx外，還有三個法向應力Pxx、Pyy和Pzz，由式(1.6)給出。Weissenberg[1947]首先觀察到粘彈性流體的剪切運動產生不相等的正應力。由於非牛頓流體中的壓力不能用式(1.7)來定義，其差值Pxx - Pyy = N1和Pyy -Pzz = N2比單獨的應力更容易測量，因此習慣將N1和N2與ryx表示為剪切速率yyx的函數，以描述粘彈性材料在簡單剪切流中的流變行為。有時將第一、第二正應力差N1、N2用兩個係數表示，定義如下:

圖1.14粘彈性流體一維定常剪切運動中應力的非零分量

圖1.15顯示了一係列聚苯乙烯-甲苯溶液中第一正應力差對剪切速率的典型依賴關係。通常，^隨剪切速率的減小速率大於表觀的減小速率

圖1.15 298K下聚苯乙烯-甲苯溶液的代表性第一正態應力差數據[Kulicke and Wallabaum, 1985]

粘度。在非常低的剪切速率下，第一正應力差Ni預計與剪切速率的平方成正比，即趨於一個恒定值，如圖1.15所示的一些實驗數據可以看出，這種極限行為接近於一個恒定值。剪切速率相同時，第一正應力差N1大於剪應力r是常見的現象。N1與r之比常被用來衡量液體的彈性;具體來說(N1/2r)被稱為可恢複剪切。大於0.5的可回收剪切在聚合物溶液和熔體中並不少見。它們表明流體具有高度彈性。然而，沒有證據表明在高剪切速率下接近一個極限值。這裏值得一提的是，對第一個正應力差的研究比對剪應力的研究少得多。

而對二次法向應力差的研究和測量則較少關注。關於N2最重要的一點是它比N1小一個數量級，而且是負的。ob体育赛事直到最近，人們還認為N2 = 0;這個所謂的魏森伯格假說不再被認為是正確的。文獻中的一些數據甚至表明N2可能改變符號。對於與圖1.15相同的溶液，N2對剪切速率的依賴關係的典型形式如圖1.16所示。

圖1.16 298K下聚苯乙烯-甲苯溶液的代表性第二正應力差數據[Kulicke and Wallabaum, 1985]

圖1.16 298K下聚苯乙烯-甲苯溶液的代表性第二正應力差數據[Kulicke and Wallabaum, 1985]

以這種方式定義的兩個法向應力差異是材料的特性,並因此被用來歸類流體作為純粹的粘性(N1 ~ 0)或粘彈性,和N \的大小與ryx相比,通常是用作衡量粘彈性。

除了簡單的剪切運動外，粘彈性材料在其他各種定義明確的流動形態下的響應，包括流動的停止/開始、蠕變、小振幅正弦剪切等，也介於完全粘滯流體和完全彈性固體之間。相反，這些試驗也可用來推斷有關材料的各種流變學信息。ob体育赛事關於這個主題的詳細討論可以在許多書中找到，例如參見Walters[1975]和Makowsko[1994]。

拉伸流動

導致流體在一個或多個維度上受到拉伸的流動發生在許多過程中，纖維紡絲和聚合物膜吹製隻是兩個最常見的例子。同樣，當兩個氣泡合並時，它們之間的液體膜也會發生類似的拉伸，直到破裂為止。另一個發生伸展效應的重要例子是聚合物溶液在多孔介質中的流動，就像在提高采油過程中遇到的那樣，在這個過程中，流體隨著流道的範圍和形狀的變化而被拉伸。伸長流動有三種主要形式:單軸、雙軸和麵，如圖1.17所示。

圖1.17單軸(a)、雙軸(b)及平麵(c)延伸示意圖

纖維紡絲是單軸伸長的一個例子(但拉伸速率沿纖維長度逐點變化)。管狀吹膜涉及通過狹縫模具擠壓聚合物，並向前和側向拉出的片材是一個雙軸延伸的例子;在這裏，通常可以指定和控製兩個方向的拉伸速率。另一個例子是塑料管的製造，它可以通過擠出或注射成型，然後加熱和高壓空氣吹到所需的尺寸。由於對稱，吹風步在一個雙軸伸展的例子，在兩個方向上的拉伸速率相等。無論擴展的類型如何，對於不可壓縮流體，在三個方向上的擴展體積速率之和必須總是為零。

自然,擴展的模式影響流體抵抗變形的方式,盡管這種阻力可以稱為鬆散是量化的伸長或外延的粘度(進一步取決於拉伸流動的類型,即單軸、雙軸或平麵),該參數,一般來說,不是常數。為了簡單起見，可以考慮在x方向上以恒定速率e被拉長的不可壓縮流體單元的行為，如圖1.18所示。對於不可壓縮流體，單元的體積必須保持恒定，因此它必須在y和z方向上以(e/2)的速率收縮，如果係統在這些方向上是對稱的。然後，正常應力Pyy和Pzz將相等。在此條件下，速度矢量V的三個分量由:

Vx = -2y, Vz = -1z (1.22)

顯然，x方向上的伸長率由以下公式給出:

在單軸延伸中，伸長粘度/xE定義為:

Pxx - Pyy Txx - Tyy n -y，。

e e或Pyy和ryy可以分別用Pzz和rzz代替。

圖1.18單軸伸展流

伸長粘度的最早測定是在最簡單的單軸拉伸情況下進行的，即液體纖維或細絲的拉伸。Trouton[1906]和許多後來的研究者發現，在低應變率(或延伸率)下，伸長粘度mE是剪切粘度m的3倍[Barnes等人，1989]。比值mE/m稱為Trouton比值Tr，即:

我是

不可壓縮牛頓流體的Trouton比的3值適用於剪切率和伸長率的值。通過類比，我們可以定義非牛頓流體的Trouton比:

由方程(1.26)給出的Trouton比的定義有些模糊，因為它同時依賴於S和y，因此必須采用一些慣例來將拉伸和剪切的應變速率聯係起來。為了消除這種模糊性，同時提供一種方便的對可拓行為的估計，Jones等人[1987]提出了Trouton比的如下定義:

即，在分母中，剪切粘度在y = -/3s處計算。他們還提出，對於非彈性各向同性流體，Trouton比為yxz

對於所有的S和p值，可以將其定義為3，而任何偏離3的值都可以明確地歸因於粘彈性。換句話說，方程(1.27)表明對於非彈性剪切稀化流體時，拉伸粘度也必須隨著拉伸速率的增加而降低(所謂的“拉伸減薄”)。顯然，剪切變薄的粘彈性流體(Trouton比大於3)具有隨拉伸速率增加的拉伸粘度;這種特性也稱為“應變硬化”。因此，包括聚合物熔體和溶液在內的許多材料在簡單剪切時表現為剪切變薄，在單軸拉伸時表現為應變硬化。除了在極小的變形率範圍內，流體的伸長粘度和其他流變性質之間似乎沒有任何簡單的關係，而且，到目前為止，它的決定完全取決於實驗，而實驗本身往往受到建立和維持一個伸長流場足夠長時間以達到穩定狀態的困難的限製[Gupta和Sridhar, 1988;James和Walters, 1994年。使用不同方法對同一流體進行的測量很少顯示出定量上的一致性，特別是對低至中粘度流體[Tirtaatmadja和Sridhar, 1993]。在低應變率下，所有非彈性流體和所有條件下牛頓流體的雙軸和平麵拉伸的Trouton比值分別為6和9。

粘彈性行為的數學模型

雖然穩態和瞬態剪切或伸長流場的實驗結果可以用來計算流體的粘性和彈性性質，但一般來說，為了充分描述真實的流體，數學方程需要相當複雜。當然，粘彈性物質變形最顯著的特征是它同時表現出“類流體”和“類固體”的特征。因此，對粘彈性行為的定量描述的早期嚐試依賴於彈性和粘滯特性線性組合的概念，使用涉及彈簧(彈性成分)和緩衝罐(粘性作用)的力學類比，這一點也不奇怪。麥克斯韋模型是所謂的線性粘彈性模型的基石;盡管它很粗糙，但它確實捕捉到了粘彈性行為的顯著特征。

該模型的機械模擬是通過彈簧和阻尼器(一種出口包含流動收縮的容器，其壓降與流量成正比)的串聯組合獲得的，如圖1.19所示。如果彈簧和阻尼器的單個應變率分別為■y1和y2，則總應變率p由這兩個分量之和給出:

．.．dK1 dK2 n

df df

圖1.19 Maxwell模型示意圖

將式(1.28)與胡克彈性定律相結合牛頓的粘度定律，則可獲得:

其中r是r的時間導數;^為阻尼器流體的粘度;A(= ^/G)為鬆弛時間，這是流體的特征。由式(1.29)可以很容易地看出，如果麥克斯韋模型流體被應變到一個固定點並保持在那裏，應力將以exp(-t /X)的形式衰減。麥克斯韋模型的一個重要特征是其主要的流狀響應。通過考慮所謂的Voigt模型，如圖1.20所示，該模型由一個彈簧和一個阻尼器的平行排列表示，可以獲得更像固體的行為。

圖1.20 Voigt模型示意圖

在這種情況下，兩組分的應變相等，描述係統應力-應變行為的方程為:

如果應力在r0處恒定，初始應變為零，應力去除後，應變隨時間常數a (= ^/G)呈指數衰減。

該模型的響應更像固體，從它不表現出無限的不可恢複的粘性流動這一事實可以清楚地看出，當彈簧承擔了負載時，它將會停止。

這種線性模型的主要優點之一是，它們可以通過引入一個弛豫時間譜(如實踐中所示)，方便地疊加在聚合物體係或包含高階衍生物中。或者，利用疊加的思想，我們可以假設應力是由一些小的局部應力的總和，每個局部應力與一個局部應變有關，每個應力根據某些鬆弛規律鬆弛。這種方法產生了所謂的“積分”模型。此外，許多其他思想已被用於發展基本模型的粘彈性行為，包括啞鈴，珠彈簧表征，網絡和動力學理論。所有這些嚐試都必然包含不同程度的理想化和經驗主義;它們最顯著的局限性是對小應變和應變速率的限製。

下一代粘彈性流體模型試圖放寬小變形和變形速率的限製，從而產生了所謂的非線性模型。該領域發展的優秀批判性評價，以及選擇模型的優點和缺點，以及為設想的過程應用選擇適當的方程的一些指導方針，可在文獻中找到，例如，參見參考文獻[Bird etal.]。, 1987;坦納,1988;拉森,1988;巴恩斯等等。, 1989;Macosko, 1994;Bird and Wiest, 1995]。

繼續閱讀:粘彈性流體的尺寸考慮

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